Ein Bayessches Inferenznetz ist ein probabilistisches Graphmodell, das eine Menge von Zufallsvariablen \(X = \{X_1, X_2, ..., X_n\}\) durch einen gerichteten azyklischen Graphen (DAG) \(G = (V, E)\) repräsentiert, wobei jeder Knoten \(v_i \in V\) einer Variablen \(X_i\) entspricht.
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich durch die Faktorisierung gemäß der Struktur des DAG ausdrücken als:
\[ P(X_1, X_2, ..., X_n) = \prod_{i=1}^n P(X_i \mid ext{Pa}(X_i)) \]
wobei \( ext{Pa}(X_i)\) die Elternknoten von \(X_i\) sind.
Die Inferenz in Bayesschen Netzen umfasst das Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten, z. B. \(P(X_i \mid E)\) mit Evidenz \(E\), was durch exakte oder approximative Algorithmen erfolgt.
Bayessche Netze sind formal definiert als Tripel \((G, \Theta)\) mit Graph \(G\) und Parametersatz \(\Theta\) der bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Definition:
„Ein Bayessches Inferenznetz ist ein gerichteter azyklischer Graph, der eine Faktorisierung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Menge von Variablen gemäß ihrer bedingten Unabhängigkeiten darstellt und probabilistische Inferenz ermöglicht.“
Quelle:
Jensen, F. V., & Nielsen, T. D. (2007). Bayesian Networks and Decision Graphs. Springer.